Johann CarI Friedrich Gauss (1777-1855) Pauca, sed matura (poche cose, ma mature)
Gauss fu uno dei più grandi matematici (il principe dei matematici) non solo del suo periodo ma di tutti i tempi (non a caso si è meritato l’appellativo di princeps mathematicorum che gli fu inciso sulla medaglia consegnatagli nel 1855 prima della morte). Gauss nacque il 30 aprile 1777 a Brunswick in Sassonia. Malgrado fin da bambino avesse manifestato un talento prodigioso per la matematica fu iscritto con non poche riserve al Ginnasium Catharineum, e solo grazie alle pressioni del suo maestro elementare, infatti, suo padre, appartenente ad una famiglia di allevatori, non vedeva di buon occhio il proseguimento degli studi, probabilmente pensando che il figlio avrebbe dovuto intraprendere il lavoro paterno. Sempre grazie a i suoi insegnanti Gauss riuscì ad ottenere un sussidio economico dal Duca di Brunswich https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/BraunschweigLKWF.jpg/220px-BraunschweigLKWF.jpg e a iscriversi al Collegium Carolinum, dopo essersi laureato nel 1799 e grazie alle sue scoperte fu chiamato, grazie a Alexander von Humboldt fratello di Wilhelm von Humboldt ministro dell’istruzione, nel 1807 a dirigere l’Osservatorio astronomico di Gottinga con il compito di tenere lì corsi di matematica per gli studenti dell’Università https://i0.wp.com/www.mathone.it/wp-content/uploads/2017/05/ossgott.gif?fit=420%2C290. Egli fu un genio universale con interessi enciclopedici anche per questo si possono identificare diverse fasi nel suo pensiero: una prima fase dal 1794 al 1801 in cui prevale l’interesse per l’algebra e l’aritmetica; una seconda dal 1801 al 1816 rivolta principalmente all’astronomia; una dal 1816 al 1828 dedicata alla geometria; dal 1828 al 1841 alla fisica-matematica e dal 1841 fino al 1855 ancora alla geometria. Fra le sue opere principali: Disquisitiones arithmeticae (Disquisizioni aritmetiche) del 1801 (nelle quali fra l'altro Gauss introduce il concetto di gruppo e di decomposizione di un gruppo), Disquisitiones genera/es circa seriem infinitam (Disquisizioni generali sulla serie infinita ...) del 1811; Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi (Nuovo metodo per trovare per approssimazione i valori degli integrali) del 1814; Disquisitiones genera/es circa superfici es curvas (Disquisizioni generali sulle superfici curve) del 1827 (nella quale vengono introdotte e sviluppate le prime nozioni di geometria differenziale, giungendo alla definizione di curvatura ecc.). Di notevolissima importanza scientifica è infine il suo nutritissimo epistolario.
La storia del piccolo Gauss
Il fenomeno dell’insight diventa un elemento fondamentale per descrivere il pensiero produttivo per Köhler, Wertheimer e gli altri gestaltisti, in particolare per spiegare la differenza tra una soluzione intelligente ed una raggiunta per prove ed errori https://upload.wikimedia.org/wikipedia/sq/2/2c/Kohler4.JPG. Scrive Kanizsa in proposito: in un genuino processo di pensiero produttivo si ha un insight ogni volta che tra i dati a disposizione viene enucleata e afferrata una relazione [o più di una] decisiva ai fini della soluzione.
Il classico esempio di questo processo è proprio legato alla leggenda che vede il giovane Gauss escogitare la formula Sn=n(n+1)/2 che permetteva di evitare di sommare ogni numero al successivo di fronte ad una sequenza di numeri progressivi e trovare così immediatamente la soluzione. Quando Gauss aveva nove anni e frequentava la scuola elementare, un giorno il maestro Buttner chiese di trovare la somma dei primi cento numeri 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10……… (noi immagineremo che essi siano solo 10) mentre i suoi compagni erano ancora assorti nei calcoli, il piccolo Gauss, di fronte allo stupore del maestro, fece notare che sommando 1 più 2, poi 3 al risultato, poi 4 al nuovo risultato, ci sarebbe voluto un sacco di tempo. Ma visto che, 1+10 fa undici, 2+9 fa di nuovo – deve fare? – undici. E così via. Vi sono cinque coppie di questo tipo: 5 volte 11 fa 55.”. https://www.yousciences.it/articles/algebra/img/sommagauss.jpg Dovrebbe essere evidente che una simile nuova “visione” del problema (o ristrutturazione) non possa essere spiegata con i termini della logica classica, che non sono in grado di rendere conto di come all’improvviso ci si possa accorgere che c’è una relazione tra la somma e il fatto che la sequenza progredisce ad intervalli costanti, cosicché il nove, ad esempio, non viene visto come tale, ma come dieci-meno-uno, e il due, a sua volta, come uno-più-uno. Così ci si accorge che togliendo da una parte si aggiunge dall’altra, e il risultato è sempre undici.
Non sfugge in tal caso che, se si fosse proceduto per prove ed errori o solo per caso, il tempo nell’identificare una soluzione sarebbe lievitato notevolmente. Il pensiero produttivo dunque riesce a cogliere il senso delle strutture generate dalla ristrutturazione degli elementi presenti nel campo sia esso visivo o semplicemente mentale, il che però presuppone una non linearità del pensiero ed al contempo un modo capace di organizzazione e struttura.
Secondo Wertheimer non è stato un caso, ma il frutto di un atto percettivo (vedere che ogni coppia di numeri presi agli estremi della sequenza risultava simmetrica rispetto alla somma), di un insight (capire che tutti gli elementi presenti potevano essere messi in relazione fra loro: la quantità dei numeri da sommare, l’uguaglianza delle somme tra coppie di estremi nella sequenza, la relazione che c’è tra somma e moltiplicazione, etc), e soprattutto i processi di ristrutturazione del pensiero, che precedono appunto il fenomeno dell’insight e lo rendono possibile come ci ricorda Kanizsa.
Le grandi scoperte di Gauss
Tra le prime scoperte di Gauss vi è la soluzione matematica relativa alla costruzione di un poligono regolare di diciassette lati https://live.staticflickr.com/4040/4330806132_c185a72413.jpg. Da questa scoperta inizia l’impegno di Gauss nello studio delle funzioni polinomiali che lo porterà a dare la sua prima formulazione del teorema fondamentale dell’algebra che stabilisce che un polinomio di grado n ≥ 1 a coefficienti reali o complessi, ha tante radici quanto il suo grado di cui almeno una è una radice complessa. Da questi risultati Gauss ricaverà le Disquisiziones arithmeticae del 1801.
Nel 1801 si verifica un fatto internazionale che indirizzerà gli studi di Gauss in un altro ambito. L’astronomo italiano Giuseppe Piazzi (1746-1826) individua in cielo un nuovo corpo celeste l’asteroide Cerere http://www.giornalettismo.com/wp-content/uploads/2014/01/cerere-asteroide-vapore.jpg di cui però poco dopo vengono perse le tracce. Gauss, che aveva dichiarato in una lettera che l’astronomia e la matematica erano i poli su cui puntava il compasso della sua anima, si concentrerà nel trovare una formula matematica che, a partire da pochissimi dati noti relativi raccolti da Piazzi nelle sue osservazioni, potesse ricostruire l’orbita dell’asteroide così da identificarlo nuovamente nell’immensità del cielo notturno. A tal fine Gauss elaborò un modello matematico che è alla base della distribuzione statistica, detta anche distribuzione gaussiana (la famosa curva di Gauss o campana gaussiana https://www.okpedia.it/data/okpedia/curva-distribuzione-normale.gif), che effettivamente porterà a ritrovare l’asteroide in cielo e a dare enorme notorietà a Gauss aprendo gli studi della moderna teoria delle probabilità.
Nel 1818 Gauss riceve l’incarico di mappare il territorio dell’Hannover ovvero costruire la cartografia del territorio. https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSTvNmd8vD89boKec2812o19z29CqQcRdjzN8x3RaHgyVDpmare Questa è un’opera tecnico-matematica all’interno degli studi geodetici, ovvero sulla superficie terrestre, che viene compiuta avvalendosi della trigonometria. Si tratta di operazione estremamente complessa perché le altitudini come le distanze sono soggette alla curvatura della superficie terrestre, inoltre, è un problema reso ancora più complesso perché tali misure vanno riportate su una carta che non solo è bidimensionale ma è ovviamente piana e priva di curvatura. Nell’affrontare questi problemi Gauss si avvale degli studi che da giovane a compiuto sui risultati di Heinrich Lambert.
Da prima Gauss risolve il problema della rappresentazione conforme ovvero quello di mantenere inalterati gli angoli nel riportare i dati sulla carta che a differenza della superficie terrestre è piana, ciò ovviamente farà si che la visione della mappa non corrisponda esattamente alla realtà, infatti, saranno le distanze ad essere distorte, ma si potrà comunque descrivere accuratamente il territorio; per fare un esempio possiamo notare la differenza che c’è tra i continenti mostrati su un mappamondo a globo e un planisfero ovvero una carta. http://dm.unife.it/matematicainsieme/matcart/immagini%20sito/lambpr.jpg
Al fine di realizzare la sua impresa Gauss costruisce anche un nuovo strumento per le misurazioni l’Eliotropo, uno strumento che grazie a degli specchi utilizza i raggi solari per segnalare la propria posizione durante la rilevazione topografica. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Heliotrope5.jpg/400px-Heliotrope5.jpg
Gauss è costretto anche ad affrontare, durante questa impresa, l’annoso problema della curvatura della superficie terrestre che non è una sfera perfetta e quindi non può essere trattata con la mera “geometria sferica” di Menelao, per questo il principe dei matematici si trovò ad interrogarsi su questioni irrisolte come il postulato delle parallele immaginando e a sostenere, come scritto nel suo diario, la convinzione che:
prescindere dal postulato delle parallele non porta a nessuna contraddizione, sebbene si ottengano proprietà che risultano paradossali
Malgrado Gauss si sia dedicato per quasi quarant’anni allo studio del quinto postulato non mostrò mai a nessuno i suoi risultati matematici che oggi ci sono noti grazie al suo diario personale, tuttavia egli intrattenne una feconda corrispondenza con il matematico Farkas Bolyai padre di Janos Bolyai oggi riconosciuto come uno dei padri della geometria iperbolica.
Gauss morirà il 23 febbraio del 1855 a Gottinga lasciando una quantità enorme di scritti non pubblicati e un eccellente allievo Bernhard Riemann.